Levelezős csapatverseny – 3. feladatsor – megoldások

VII. feladat – 7 pont

Azonban a rádiót hiába építette meg, segítségkérésére nem kapott választ. Tovább kutakodott a bunkerben, és egy naplót talált. Ez állt benne:

„1944. június 12. napsütés, 89F
A tegnap talált kincset a mai napon elrejtettem. Először is elmentem az első partraszállás helyére, ott leraktam egy kókuszdiót, majd a kókuszdiótól elsétáltam a közelben lévő egyetlen pálmafához, és onnan az óramutató járásával megegyező irányban 90°-kal elfordulva megtettem ugyanannyi lépést, mint amennyit odáig kellett. Ezt a pontot is megjelöltem egy kókusszal. Ezután visszasétáltam a kiindulási pontra, és ugyanezt elvégeztem a közelben lévő egyetlen sziklához elsétálva is, azzal a különbséggel, hogy most az óramutató járásával ellentétesen fordultam, majd a kiindulási pontot jelző kókuszt felszedtem, és a maradék kettő közé félúton elástam a kincset. Minden nyomot elrejtettem.”


– Milyen kár, hogy nem ismerem a partraszállás helyét. – sajnálkozott Jancsi – Úgy könnyű lenne megtalálni a kincset. Azonban kicsit tovább gondolkodott, majd elindult egy ásóval a parthoz.

VII. Hogyan találhatja meg mégis a kincset Jancsi?

Megoldás: Megmutatjuk, hogy a Jancsi által lerít módszer az indulási helytől függetlenül mindig ugyanazt a pontot jelöli ki a kincs helyéül. Ennél erősebbet is állítunk: ez a pont mindig az a D pont, amire a PDS háromszög egy egyenlőszárú derékszögű háromszög SP átfogóval, ahol S a sziklát, P a pálmát jelöli.
Legyen K1 az indulási pontba lerakott kókuszdió, K2 a másodszorra elhelyezett, és K3 a harmadik. Jelölje C a K1 indulási ponthoz tartozó kincshelyet.

A P körüli 90°-os forgatás K1-et K2-be, S-et S'-be viszi. Az S körüli -90°-os forgatás K1-et K3-ba, P-t P'-be viszi. Ekkor SPS'P' négyszög négyzet, PK2S' és P'K3S háromszögek pedig egybevágók PK1S háromszöggel. Legyen K1' a K1 pont tükörképe az SPS'P' négyzet középpontjára. Ekkor PK1S és P'K1'S' háromszögek egybevágóságából S'K1=SK1. Mivel K2S'K1'∠=90°, (K1SP∠=K2S'P∠=K1'S'P' ∠=K1SP∠), ezért K2S'K1' és K3SK1 egybevágók. Hasonlóan K1PK2 és K1'P'K3 háromszögek is egybevágók.
S tükörképe a négyzet középpontjára S', K1 tükörképe pedig K1', amiből azt is megkapjuk, hogy S'K2K1' háromszög az SK3K1' háromszög középponrta vett képe. (Az említett háromszögek egybevágóságát mát beláttuk, tehát ha két csúcspárról már tudjuk, hogy szimmetrikusak a középponrta, a harmadiknak is annak kell lenni.)
Ebből pedig pont azt kapjuk, hogy K2 és K3 a négyzet középpontjára szimmetrikusan helyezkedik el, azaz C a négyzet középpontja. Ezzel beláttuk amit szerettünk volna.

A feladat forrása: GeoGebra


Vissza a feladatsorhoz | I. feladat | II. feladat | III. feladat | IV. feladat | V. feladat | VI. feladat | VII. feladat | VIII. feladat | IX. feladat | X. feladat | XI. feladat

 

 

A verseny kereteit a TÁMOP - 4.2.2/B-10/1-2010-0030
„Önálló lépések a tudomány területén” pályázat biztosította.